一元二次方程的根与系数的关系知识点题库

若关于x的一元二次方程x²+px+q=0的两根分别为x₁=2，x₂=1，则p、q的值分别是（　　）

A . －3，2 B . 3，-2 C . 2，－3 D . 2，3

已知关于x的方程x²﹣（2m+1）x+m²+m=0．

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x₁ ， x₂ ，且满足x₁²+x₂²=3，求实数m的值．

已知m，n是关于x的一元二次方程x²﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）

A . ﹣10 B . 4 C . ﹣4 D . 10

在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 $\text{[math]}$ ，操作步骤是：

第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。

（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 $\text{[math]}$ 的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 $\text{[math]}$ 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）就是符合要求的一对固定点？

已知抛物线y=（m﹣1）x²+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．

已知：关于x的方程x²﹣（2m+1）x+2m=0

（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两根为x₁ ， x₂ ，且|x₁|=|x₂|，求m的值．

设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）求 $\text{[math]}$ 的最大值．

关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 $\text{[math]}$ 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数是（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x²﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．

（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；

②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

已知方程 $\text{[math]}$ 的一个根是1，求它的另一个根和m的值.

二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：

x	…	﹣1	0	1	2	3	…
y＝ax²+bx+c	…	p	t	n	t	0	…

有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax²+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）.其中正确结论的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

设m ， n分别为一元二次方程x²＋2x－2 021＝0的两个实数根,则m²＋3m＋n＝.

x₁ ， x₂为方程x²-4x-2020=0的两根，则x₁²-x₁+3x₂的值为.

设a、b是一元二次方程x²+2x-7=0的两个根，则a²+3a+b的值为（）

A . -1 B . 2 C . 5 D . 8

设x₁ ， x₂是方程x²﹣3x﹣2=0的两个根，则代数式x₁²+x₂²的值为.

已知关于x的方程 $\text{[math]}$

（1）求证：无论m为任何数，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，请求出m的值和方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.

若m，n为方程x²-3x-1=0的两根，则多项式m²+3n的值为（）

A . -8 B . -9 C . 9 D . 10

若x＝﹣6是一元二次方程x²+mx+6＝0的一个根，则原方程的另一个根是x＝.

已知α，β是一元二次方程x²＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是．

已知x₁、x₂是关于x的方程x²+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x₁≠x₂ ．

（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；
（3）若|x₁﹣x₂|＝6，求 $\text{[math]}$ 的值.

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