题目

如图所示，已知△AOB中， ，AB=2OB=4，D为AB的中点，若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B﹣AO﹣C的大小为θ． （1） 若 ，求证：平面COD⊥平面AOB； （2） 若 时，求二面角C﹣OD﹣B的余弦值的最小值． 答案： 解：因为AO⊥OB，二面角B﹣AO﹣C为 π2 ，所以OB⊥OC，又OC⊥OA，且OA∩OB=O，OB在平面AOB内，OC在平面AOB内．所以OC⊥平面AOB又OC在平面COD．所以平面AOB⊥平面COD． 解：当θ= π2 时，二面角C﹣OD﹣B的余弦值为0；当θ∈（ π2 ， 2π3 ]时，过B作OD的垂线，垂足为E，过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG，则∠CGF的补角为二面角C﹣OD﹣B的平面角．在Rt△OCF中，CF=2sinθ，OF=﹣2cosθ，在Rt△CGF中，GF=OFsin π3 =﹣ 3 cosθ，CG= 4sin2θ+3cos2θ ，所以cos∠CGF= FGCG =﹣ 3cosθ4sin2θ+3cos2θ ．因为θ∈（ π2 ， 2π3 ]，tanθ≤﹣ 3 ，故0＜cos∠CGF= 34tan2θ+3 ≤ 55 ．所以二面角C﹣OD﹣B的余弦值的范围是[﹣ 55 ，0]所以二面角C﹣OD﹣B的余弦值的最小值为﹣ 55 ．

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