题目

已知 ， . （1） 求证：关于x的方程 有解. （2） 设 ，求函数 在区间 上的最大值. （3） 对于（2）中的 ，若函数 在区间 上是严格减函数，求实数m的取值范围. 答案： 证明：由 f(x)=mx+3 ， g(x)=x2+2x+m ， 得 f(x)−g(x)=−x2+(m−2)x+3−m ，令 f(x)−g(x)=0 ， 则 Δ=(m−2)2+4(3−m)=m2−8m+16=(m−4)2≥0 恒成立， 所以方程 f(x)−g(x)=0 有解 解：由 G(x)=f(x)−g(x)−1=−x2+(m−2)x+2−m ， 对称轴 x=m−22 ， 当 m−22≤0 时，即 m≤2 时， G(x)max=G(0)=2−m ， 当 m−22>0 时， 即 m>2 时， G(x)max=G(m−22)=−(m−22)2+(m−2)(m−22)+2−m ， G(x)max=14m2−2m+3 ， 综上： G(x)max={2−m(m≤2)14m2−2m+3(m>2) 解：由 G(x)=−x2+(m−2)x+2−m ， 又函数 y=|G(x)| 在区间 [−1,0] 上是严格减函数， 所以 {m−22≤−1G(0)≥0 或 {m−22≥0G(0)≤0 ， 即 {m−22≤−12−m≥0 或 {m−22≥02−m≤0 ， 解得 m≤0 或 m≥2 ， 所以实数 m 的取值范围为 (−∞,0]∪[2,+∞)

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