题目

已知函数 ． （1） 若函数 在 上有极值，求 的取值范围及该极值； （2） 求使 对任意 恒成立的自然数 的取值集合． 答案： 函数函数 f(x)=xlnx ，则 f′(x)=lnx+1 ，由 f′(x)<0 ，解得 0<x<1e ；由 f′(x)>0 ，解得 x>1e ． 所以 f(x) 在 (0，1e) 上单调递减，在 (1e，+∞) 上单调递增． 因为 f(x) 在 [t，t+1](t>0) 上有极值，所以 {t<1e，t+1>1e，t>0， 得 0<t<1e ． f(x)极小值=f(1e)=−1e 因为 n(x−1)<f(x)+x+1 对任意 x>1 恒成立， 所以 n<xlnx+x+1x−1 对任意 x>1 恒成立． 令 g(x)=x+xlnx+1x−1 ，则 g′(x)=(lnx+2)(x−1)−(x+xlnx+1)(x−1)2=x−lnx−3(x−1)2 ． 令 u(x)=x−lnx−3 ，则 u′(x)=1−1x ， 因为 x>1 ，所以 u′(x)>0 ，所以 u(x) 在 (1，+∞) 上为增函数． 因为 u(4)=1−ln4<0 ， u(5)=2−ln5>0 ， 所以存在 x0∈(4，5) ，使 u(x0)=x0−lnx0−3=0 ． 当 x∈(1，x0) 时， g′(x)<0 ，函数 y=g(x) 单调递减； 当 x∈(x0，+∞) 时， g′(x)>0 ，函数 y=g(x) 单调递增． 所以 g(x)min=g(x0)=x0+x0lnx0+1x0−1=x0+x0(x0−3)+1x0−1=x0−1 ， 于是 n<x0−1 恒成立． 因为 x0∈(4，5) ，所以 x0−1∈(3，4) ，则 n≤3 ， 故自然数 n 的取值集合为 {0，1，2，3} ．

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