题目

如图，港口 在港口 的正东120海里处，小岛 在港口 的北偏东 的方向，且在港口 北偏西 的方向上，一艘科学考察船从港口 出发，沿北偏东 的 方向以20海里/小时的速度驶离港口 .一艘给养快艇从港口 以60海里/小时的速度驶向小岛 ，在 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发，补给装船时间为1小时. （1） 求给养快艇从港口 到小岛 的航行时间； （2） 给养快艇驶离港口 后，最少经过多少小时能和科考船相遇？ 答案： 解：由题意知，在 ΔAOB 中， OA=120 ， ∠AOB=30° ， ∠OAB=60° ， 所以 ∠ABO=90° ， 于是 AB=OAsin∠AOB=120sin30°=60 ， 而快艇的速度为 v=60 海里/小时， 所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 60v=1 小时. 解：由（1）知，给养快艇从港口 A 驶离2小时后，从小岛 B 出发与科考船汇合.为使航行的时间最少，快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行， 设给养快艇驶离港口 B t 小时后恰与科考船在 C 处相遇. 在 ΔAOB 中， OB=OAcos∠AOB=120cos30°=603 ， 而在 ΔCOB 中， BC=60t ， OC=20(2+t) ， ∠BOC=30° ， 由余弦定理，得 BC2=OB2+OC2−2OB⋅OC⋅cos∠BOC ， 即 (60t)2=(603)2+(20(t+2))2−2×603×20(t+2)×32 ， 化简，得 8t2+5t−13=0 ， 解得 t=1 或 t=−138 （舍去）. 故 t+2=3 . 即给养快艇驶离港口 A 后，最少经过3小时能和科考船相遇.

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