题目

如图所示,定椭圆=1(a>b>0)上的动点P不重合于短轴两端点B1与B2,设两直线B1P、B2P与x轴分别相交于点M、N.问|OM|·|ON|是否为定值?       答案：解析:取P(a,0),则M(a,0)、N(a,0),从而|OM|·|ON|=a2;       取P(c,),则M(,0),N(,0).       故|OM|·|ON|=a2.       于是猜想|OM|·|ON|=a2为定值.       证明:设P(acosθ,bsinθ),其中|sinθ|≠1,       且设M(x1,0),N(x2,0).       ∵三点B、M、P共线,且三点B2、N、P共线,       ∴,,       即x1=,x2=.       则|OM|·|ON|=|x1|·|x2|=|x1·x2|       =||=||＝a2(定值).       故|OM|·|ON|为定值.

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