离散型随机变量及其分布列知识点题库

已知随机变量X的分布列为 $\text{[math]}$ ，则P（2＜X≤4）=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

盒子中装着标有数字1，2，3，4，5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：

（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布．

某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04．

周一	无雨	无雨	有雨	有雨
周二	无雨	有雨	无雨	有雨
收益	10万元	8万元		5万元

（1）求p及基地的预期收益；
（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．

某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．

（Ⅰ）设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的大小（直接写出结果，不写过程）；

（Ⅱ）从甲班10人任取2人，设这2人中及格的人数为X，求X的分布列和期望；

（Ⅲ）从两班这20名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条件下，求抽到乙班同学不及格的概率．

每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率．

（1）求某两人选择同一套餐的概率；
（2）若用随机变量X表示某两人所获优惠金额的总和，求X的分布列和数学期望．

自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选1个同学，作为“保钓行动代言人”．

（1）求选出的2个同学中恰有1个女生的概率；
（2）设X为选出的2个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．

甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分。两人4局的得分情况如下：在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，则 $\text{[math]}$ 的取值不可能是（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为 $\text{[math]}$ ，且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖.

（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及均值和方差.

甲、乙、丙三人独立的对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为 $\text{[math]}$ ，乙能攻克的概率为 $\text{[math]}$ ，丙能攻克的概率为 $\text{[math]}$ ；

（1）求这一技术难题被攻克的概率；
（2）若该技术难题未被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励6万元．奖励规则如下：若只有一人攻克，则此人获得全部奖金6万元；若只有2人攻克，则此二人均分奖金，每人3万元；若三人均攻克，则每人2万元．在这一技术难题被攻克的前提下，设甲拿到的奖金数为 $\text{[math]}$ ,求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．

某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果)，购入价为300元/袋，并以360元／袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元／袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购进)．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．

现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X表示A水果一天前8小时内的销售量，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数．

（1）求X的分布列；
（2）以日利润的期望值为决策依据，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中选其一，应选用哪个?

设 $\text{[math]}$ ，随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列是：

$\text{[math]}$	-1	0	1
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

则当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内增大时（）

A . $\text{[math]}$ 增大 B . $\text{[math]}$ 减小 C . $\text{[math]}$ 先增大后减小 D . $\text{[math]}$ 先减小后增大

袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 所有可能值的个数是（）

A . 25 B . 10 C . 9 D . 5

端午节（每年农历五月初五），是中国传统节日，有吃粽子的习俗.某超市在端午节这一天，每售出 $\text{[math]}$ kg粽子获利润5元，未售出的粽子每1kg亏损3元.根据历史资料，得到销售情况与市场需求量的频率分布表，如下表所示.该超市为今年的端午节预购进了140kg粽子.以 $\text{[math]}$ （单位：kg， $\text{[math]}$ ）表示今年的市场需求量， $\text{[math]}$ （单位：元）表示今年的利润.

市场需求量（kg）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
频率	0.1	0.2	0.3	0.25	0.15

（1）将 $\text{[math]}$ 表示为 $\text{[math]}$ 的函数；
（2）在频率分布表的市场需求量分组中，以各组的区间中间值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量 $\text{[math]}$ ，则取 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的概率等于需求量落入 $\text{[math]}$ 的频率0.2），求 $\text{[math]}$ 的数学期望.

某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ．

（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？
（2）该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数 $\text{[math]}$ ，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G ，否则获赠手机流量1G ．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G？
参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

某大学为了解学生对 $\text{[math]}$ 两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的生中随机抽取了50人，分别对这两本图书进行评分反馈，满分为100分，得到的相应数据整理如下表：

分数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
A图书频数	2	2	8	20	18
B图书频数	2	10	10	12	16

学生对图书的“评价指数”如下表：

分数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
评价指数	1	2	3

（1）从 $\text{[math]}$ 两本图书都阅读过的学生中任选1人，试估计其对 $\text{[math]}$ 图书“评价指数”为2的概率；
（2）从对 $\text{[math]}$ 图书“评价指数”为1的学生中任选3人进一步访谈，设 $\text{[math]}$ 为3人中评分在 $\text{[math]}$ 内的人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望；
（3）试估计学生更喜好 $\text{[math]}$ 哪一本图书，并简述理由.

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位： $\text{[math]}$ )绘制了如下表格：

完成任务工作时间	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
甲种生产方式	2人	3人	10人	5人
乙种生产方式	5人	10人	4人	1人

（1）将完成生产任务所需时间超过 $\text{[math]}$ 和不超过 $\text{[math]}$ 的工人数填入下面列联表：

生产方式	工作时间		合计
生产方式	超过 $\text{[math]}$	不超过 $\text{[math]}$	合计
甲
乙
合计

（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？
（3）若从完成生产任务所需的工作时间在 $\text{[math]}$ 的工人中选取3人去参加培训，设 $\text{[math]}$ 为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

$\text{[math]}$

2.706

3.841

6.635

7.897

10.828

水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.

（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为 $\text{[math]}$ ，求随机变量 $\text{[math]}$ 的概率分布列及数学期望 $\text{[math]}$ .

一家养鸡场养了甲､乙两个品种的产蛋鸡，在甲､乙两个品种的产蛋鸡中各随机抽取1000只，分别记录其日产蛋量.根据产蛋期的记录，绘制了日产蛋量的频率分布直方图，如图所示（视频率为概率）.

（1）若甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立，记“甲､乙两种鸡的日产蛋量都不低于850个”为事件 $\text{[math]}$ ，试估计事件 $\text{[math]}$ 发生的概率；
（2）由于甲､乙两种鸡的食量和产蛋的大小不同，甲品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为 $\text{[math]}$ ，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为 $\text{[math]}$ ，日产蛋量不小于900个的利润率为 $\text{[math]}$ ；乙品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为 $\text{[math]}$ ，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为 $\text{[math]}$ ，日产蛋量不小于900个的利润率为 $\text{[math]}$ .若在甲､乙两个品种上各投资10万元， $\text{[math]}$ （单位：万元）和 $\text{[math]}$ （单位：万元）分别表示投资甲､乙两个品种所获得的利润，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数学期望，并对甲､乙两个品种的投资进行分析比较.

为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，数据中凡违章车次超过40次的路口设为“重点关注路口”.

（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的平均数；
（2）现从支队派遣3位交警去违章车次在 $\text{[math]}$ 的路口执勤，每人选择一个路口，每个路口至多1人，设去“重点关注路口”的交警人数为X，求X的分布列及数学期望.

甲、乙两人玩如下游戏：两人分别拿出一枚硬币同时扣在桌子上(硬币的正反面自己决定，两人互不影响)，然后把手拿开，如果都是正面，则乙给甲3元，如果都是反面，则乙给甲1元，如果一正一反则甲给乙2元．如此进行下去，把频率当做概率．

（1）若甲出正面的频率0.7，乙出正面的频率为0.5，甲、乙各出硬币一次，求甲的收益X的分布列及数学期望；
（2）这个游戏多次进行下去，乙能否通过调整自己出正面的频率，使得无论甲出正面还是反面，自己都不会输？如果能，求出乙不输时出正面的频率的范围，如果不能，说明理由．

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.897	10.828

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