题目

一家养鸡场养了甲､乙两个品种的产蛋鸡，在甲､乙两个品种的产蛋鸡中各随机抽取1000只，分别记录其日产蛋量.根据产蛋期的记录，绘制了日产蛋量的频率分布直方图，如图所示（视频率为概率）. （1） 若甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立，记“甲､乙两种鸡的日产蛋量都不低于850个”为事件 ，试估计事件 发生的概率； （2） 由于甲､乙两种鸡的食量和产蛋的大小不同，甲品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为 ，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为 ，日产蛋量不小于900个的利润率为 ；乙品种1000只鸡的日产蛋量小于850个的利润率为 ，日产蛋量不小于850个而小于900个的利润为 ，日产蛋量不小于900个的利润率为 .若在甲､乙两个品种上各投资10万元， （单位：万元）和 （单位：万元）分别表示投资甲､乙两个品种所获得的利润，求 和 的数学期望，并对甲､乙两个品种的投资进行分析比较. 答案： 甲种鸡的日产蛋量不低于850个的频率为： (0.008+0.003+0.001)×50=0.6 ， 乙种鸡的日产蛋量不低于850个的频率为： (0.010+0.006+0.002)×50=0.9 ， 因为甲､乙两种鸡的日产蛋量相互独立， 所以事件 A 发生概率的估计值 P(A)=0.6×0.9=0.54 . 根据题意，可知随机变量 X1 的可能取值为1，1.5，2. 则有 P(X1=1)=0.4 ， P(X1=1.5)=0.4 ， P(X1=2)=0.2 ， 所以随机变量 X1 的分布列为 X1 1 1.5 2 P 0.4 0.4 0.2 所以 E(X1)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.4=1.4 万元. 随机变量 X2 的可能取值为1.5，2，1， 则有 P(X2=1.5)=0.1 ， P(X2=2)=0.5 ， P(X2=1)=0.4 ， 所以随机变量 X2 的分布列为 X2 1.5 2 1 P 0.1 0.5 0.4 所以 E(X2)=1.5×0.1+2×0.5+1×0.4=1.55 万. 可从如下四方面分析比较： ① E(X2)>E(X1) ， ② D(X1)=(1−1.4)2×0.4+(1.5−1.4)2×0.4+(2−1.4)2×0.2=0.14 ， D(X2)=(1.5−1.55)2×0.1+(2−1.55)2×0.5+(1−1.55)2×0.4=0.2225 ， D(X2)>D(X1) ， ③ X 1 1.5 2 P甲 0.4 0.4 0.2 P乙 0.4 0.1 0.5 P(X2=1)=P(X1=1) ， P(X2=2)>P(X1=2) ， 说明两种投资获最低收益的概率相同， 养殖乙品种获得最大收益的概率远大于养殖甲品种. ④从频率分布直方图中可知，甲品种需要多产才能获得更大利润， 乙品种只需控制产量在 [850，900) 之间，即可获得更大利润.

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