向量方法证明线、面的位置关系定理知识点题库

如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，点E是棱AB上的动点.

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角是45 $\text{[math]}$ ，请你确定点E的位置，并证明你的结论.

已知三棱柱 $\text{[math]}$ 中,三个侧面均为矩形,底面 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形, $\text{[math]}$ ,点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点,点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上运动.

（1）求证 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2）当点 $\text{[math]}$ 运动到某一位置时，恰好使二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
（3）在（2）的条件下，试确定线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值；
（3）设点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

若点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的正投影，则记 $\text{[math]}$ .如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，记平面 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一动点（与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .给出下列三个结论：

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①线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围是 $\text{[math]}$ ；②存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；③存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ .其中，所有正确结论的序号是（）

A . ①②③ B . ②③ C . ①③ D . ①②

如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
（3）设 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，若直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值；
（3）点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 的中点，F是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$

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（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（Ⅲ）在线段 $\text{[math]}$ （不含端点）上是否存在一点M，使得直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出此时 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，说明理由.

如图，在以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的多面体中，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁和BCC₁B₁均为正方形，且所在平面互相垂直．

（Ⅰ）求证：BC₁⊥AB₁；

（Ⅱ）求直线BC₁与平面AB₁C₁所成角的大小．

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如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平行四边形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
（3）若点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共面，并求其所成角的余弦值；
（2）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点M，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

（1）求BC；
（2）求二面角A-PM-B的正弦值。

如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）当点 $\text{[math]}$ 位于棱 $\text{[math]}$ 的什么位置时，面 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ ，所成的二面角的正弦值最小？

如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点E，F分别在棱BC，CD上运动，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值：
（3）当E，F分别是棱BC，CD的中点时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的正弦值.

如图，在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P在侧棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值；
（2）侧棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点E，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ?若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角F – AE – P的余弦值；
（3）设点G在PB上，且 $\text{[math]}$ ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

如图（1），已知 $\text{[math]}$ 是边长为6的等边三角形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点．将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 进行翻折， $\text{[math]}$ 翻折到点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 是直二面角，如图（2）．

（1）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD，且 $\text{[math]}$ ， E为BC的中点.

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面PBD.
（2）若四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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