题目

如图，在以 ， ， ， ， ， 为顶点的多面体中，四边形 是矩形， ， ， 平面 ， ， . （1） 求证： 平面 ； （2） 求二面角 的余弦值. 答案： 证明：由题意，四边形 ABCD 是矩形，可得 AD⊥DC ， 又由 EA⊥ 平面 ABCD ， AD⊂ 平面 ABCD ，所以 EA⊥AD ， 因为 FD//EA ，所以 FD⊥AD ， 又由 CD∩FD=D ，且 CD,FD⊂ 平面 CDF ，所以 AD⊥ 平面 CDF ， 如图所示，以 A 为坐标原点，分别以 AB ， AD ， AE 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系. 则 B(2,0,0) ， E(0,0,2) ， BE=⇀(−2,0,2) ， A(0,0,0) ， D(0,6,0) ， AD→=(0,6,0) . 由平面 CDF 的一个法向量为 AD→=(0,6,0) ， 因为 BE→⋅AD→=0 ，即 BE→⊥AD→ ，即 BE⊥AD ， 所以 BE// 平面 CDF 解：由题意，得 C(2,6,0) ， E(0,0,2) ， F(0,6,22) ， D(0,6,0) ， 平面 DEF 的一个法向量为 m→=(1,0,0) ， 设平面 CEF 的一个法向量 n→=(x,y,z) ， 可得 EF→=(0,6,2) ， CF→=(−2,0,22) ， 由 {n⇀⊥EF⇀n⇀⊥CF⇀ ，可得 {n⇀⋅EF⇀=6y+2z=0n⇀⋅CF⇀=−2x+22z=0 ，即 {3y+z=0−x+2z=0 ， 取 z=3 ，得 y=−1 ， x=6 ，所以 n→=(6,−1,3) . 设二面角 C−EF−D 的大小为 θ ， 则 cosθ=|cos〈n→,m→〉|=n→⋅m→|n→|⋅|m→|=610×1=155 . 所以二面角 C−EF−D 的余弦值为 155

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