题目

如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ， ，且点 和 分别为 和 的中点. （1） 求证： 平面 ； （2） 求二面角 的正弦值； （3） 设 为棱 上的点，若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长. 答案： 解：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,−2,0) ， 又因为 M,N 分别为 B1C 和 D1D 的中点，得 M(1,12,1),N(1,−2,1) . 依题意，可得 n→=(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量， MN→=(0,−52,0) ， 由此可得， MN→⋅n→=0 ，又因为直线 MN⊄ 平面 ABCD ，所以 MN// 平面 ABCD 解： AD1→=(1,−2,2) , AC→=(2,0,0) ，设 n1→=(x,y,z) 为平面 ACD1 的法向量，则 {n1→⋅AD1→=0n1→⋅AC→=0 ，即 {x−2y+2z=02x=0 ，不妨设 z=1 ，可得 n1→=(0,1,1) ， 设 n2→=(x,y,z) 为平面 ACB1 的一个法向量，则 {n2→⋅AB1→=0n2→⋅AC→=0 ，又 AB1→=(0,1,2) ，得 {y+2z=02x=0 ，不妨设 z=1 ，可得 n2→=(0,−2,1) 因此有 cos〈n1→,n2→〉=n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→|=−1010 ，于是 sin〈n1→,n2→〉=31010 ， 所以二面角 D1−AC−B1 的正弦值为 31010 . 解：依题意，可设 A1E→=λA1B1→ ，其中 λ∈[0,1] ，则 E(0,λ,2) ，从而 NE→=(−1,λ+2,1) ，又 n→=(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得 cos〈NE→,n→〉=NE→⋅n→|NE→|⋅|n→|=1(−1)2+(λ+2)2+12=13 ，整理得 λ2+4λ−3=0 ， 又因为 λ∈[0,1] ，解得 λ=7−2 ， 所以线段 A1E 的长为 7−2 .

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