二次函数与不等式（组）的综合应用知识点题库

小明从如图所示的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤ $\text{[math]}$ ．你认为其中正确信息的个数有（　　）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是

定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如：max{1，﹣2}=1，

max{﹣3，﹣7}=﹣3

（1）求max{﹣x²+1，2}；
（2）已知max{﹣x²﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，max{x²﹣x﹣6，m（x﹣1）}=m（x﹣1）．直接写出实数m的取值范围．

自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：x²﹣5x＞0．

解：设x²﹣5x=0，解得：x₁=0，x₂=5，则抛物线y=x²﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x²﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x²﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x²﹣5x＞0的解集为：x＜0或x＞5．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式x²﹣5x＜0的解集为．
（3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：x²﹣2x﹣3＞0．．

阅读下面材料：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y₁=ax+b与双曲线y₂= $\text{[math]}$ 交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．

观察图象可知：

①当x=﹣3或1时，y₁=y₂；

②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y₁＞y₂ ，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞ $\text{[math]}$ 的解集．

有这样一个问题：求不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集．

某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．

下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：

（1） ①将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立；

当x＞0时，原不等式可以转化为x²+4x﹣1＞ $\text{[math]}$ ；

当x＜0时，原不等式可以转化为x²+4x﹣1＜ $\text{[math]}$ ；

②构造函数，画出图象

设y₃=x²+4x﹣1，y₄= $\text{[math]}$ ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．

双曲线y₄= $\text{[math]}$ 如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y₃=x²+4x﹣1；（不用列表）
（2）确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y₃=y₄的所有x的值为
（3）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集为．

已知直线y=mx+n和抛物线y=ax²+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和﹣ $\text{[math]}$ ，那么不等式mx+n＜ax²+bx+c＜0的解集是（）

A . 1＜x＜2 B . x＜﹣ $\text{[math]}$ 或x＞1 C . ﹣ $\text{[math]}$ ＜x＜2 D . ﹣1＜x＜2

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x²+2mx﹣m²+1的对称轴是直线x=1．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y₁），E（3，y₂）在抛物线上，若y₁＜y₂ ，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．

二次函数y＝－x²＋bx＋c的图象如图所示，下列几个结论：

①对称轴为直线x＝2；

②当y≤0时，x < 0或x > 4；

③函数解析式为y＝－x²＋4x；

④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有( )

A . ①②③④ B . ①②③ C . ②③④ D . ①③④

如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），一次函数的图象过点A、C．

（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

二次函数 $\text{[math]}$ 图象不经过第三象限，求k的取值范围

已知抛物线y=mx²的图像经过点（1,2）.

（1）求出m的值和顶点的坐标，并画出这条抛物线；
（2）利用图像回答：x取什么值时，抛物线在直线y=2的上方？
（3）当－1≤x≤2时，求y的取值范围.

已知函数 $\text{[math]}$

（1）判断该函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴的交点个数．
（2）若 $\text{[math]}$ ，求出函数值 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时的取值范围．
（3）若方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有且只有一个解，直接写出 $\text{[math]}$ 的范围．

二次函数y=ax²−3ax+2(a<0)的图象如图所示，若y<2，则x的取值范围为.

图片_x0020_100007

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与y轴交于点A，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像经过点A，且与二次函数图象的另一个交点为点B.

（1）用含有字母b代数式表示点B的坐标.
（2）点M的坐标为（－2，0），过点M作x轴的垂线交抛物线于点C.
①当x＜－2时，y₁＜y₂ ，求b的取值范围；

②若△ABC是直角三角形，求b的值.

在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于(p,0)，(q,0)，则该抛物线的解析式可以表示为：

y=a(x-p)(x-q)，

=ax²-a(p+q)x+apq.

（1）若a=1，抛物线与x轴交于(1,0)，(5,0)，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a=-1，如图（1），A(-1,0)，B(3,0)，点M(m,0)在线段AB上，抛物线C₁与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C₂与x轴交于B，M，顶点为D.当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
（3）已知抛物线C₃与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)，线段EF的端点E(0,3)，F(4,3).若抛物线C₃与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围.

已知抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，求这三个交点的坐标，求出顶点坐标，并直接写出当x²-4x+3＞0时，x的取值范围．

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，函数 $\text{[math]}$ 的图像与对称轴直线 $\text{[math]}$ 交于点A，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 三点，下列命题正确的是（）

① $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③对于任意 $\text{[math]}$ ，始终有 $\text{[math]}$ ；④若B的坐标为 $\text{[math]}$ ，则C的坐标为 $\text{[math]}$ ．

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ②③④

如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的个数（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，一次函数y₁=kx+b与二次函数y₂=ax²的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点．

（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使y₁＜y₂的x的取值范围．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ ，其顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线与x轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于A，B两点，下列结论： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根， $\text{[math]}$ 抛物线与x轴的另一个交点是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 其中正确结论的个数是( )

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

二次函数与不等式（组）的综合应用 知识点题库

二次函数与不等式（组）的综合应用知识点题库