题目

（2019·河北中考模拟）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E． （1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标； （2）连接EF，求∠EFC的正切值； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式． 答案：（1）E（2，3）；（2）；（3）. 【解析】 （1）∵OA=3，OB=4， ∴B（4，0），C（4，3）， ∵F是BC的中点， ∴F（4，）， ∵F在反比例y=函数图象上， ∴k=4×=6， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵E点的坐标为3， ∴E（2，3）； （2）∵F点的横坐标为4， ∴F（4，）， ∴CF=BC﹣BF=3﹣= ∵E的纵坐标为3， ∴E（，3）， ∴CE=AC﹣AE=4﹣=， 在Rt△CEF中，tan∠EFC=， （3）如图，由（2）知，CF=，CE=，， 过点E作EH⊥OB于H， ∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°， ∴∠EGH+∠HEG=90°， 由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°， ∴∠EGH+∠BGF=90°， ∴∠HEG=∠BGF， ∵∠EHG=∠GBF=90°， ∴△EHG∽△GBF， ∴， ∴， ∴BG=， 在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2， ∴（）2﹣（）2=， ∴k=， ∴反比例函数解析式为y=． 点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键．

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