二次函数与不等式（组）的综合应用知识点题库

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示观察图象得出了下面5条信息：
（1）a＜0；（2）图象的对称轴为直线x=-1；（3）abc＜0；（4）4a-2b+c＞0；
（5）-3≤x≤1时，y≥0；
你认为其中正确信息的数量是（　　）个．

A . 4 B . 3 C . 5 D . 2

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁：y₁=ax²﹣4ax﹣4的顶点在x轴上，直线l：y₂=﹣x+5与x轴交于点A．

（1）求抛物线C₁：y₁=ax²﹣4ax﹣4的表达式及其顶点坐标；
（2）点B是线段OA上的一个动点，且点B的坐标为（t，0）．过点B作直线BD⊥x轴交直线l于点D，交抛物线C₂：y₃=ax²﹣4ax﹣4+t 于点E．设点D的纵坐标为m，设点E的纵坐标为n，求证：m≥n；
（3）在第（2）问的条件下，若抛物线C₂：y₃=ax²﹣4ax﹣4+t 与线段BD有公共点，结合函数的图象，求t的取值范围．

定义：两条抛物线顶点都在直线y=x上，且两条抛物线关于原点成中心对称，则称这两条抛物线为一对“友好抛物线”．

（1）抛物线y=2（x-1）²+1如图1所示，请画出它的“友好抛物线”，并直接写出它的解析式；
（确认无误后，请用黑色水笔描黑）
（2）一对“友好抛物线”，其中一条抛物线的解析式为y= -（x+h）²-h，这对“友好抛物线”与y轴交点记为A，B，记AB=n（当A与B重合时，记n=0），现我们来探究n与h的关系；
①当h≥0时，如图2所示，求n与h的函数关系式；
②当h＜0时，求n与h的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，要使 $\text{[math]}$ ≤n≤ $\text{[math]}$ ，试直接写出h的取值范围．

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0）和（﹣3.5，0），顶点为（﹣1，4），根据图象直接写出下列答案．

（1）方程ax²+bx+c=0的两个根；
（2）不等式ax²+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax²+bx+c=k有两个不相等实根，则k的取值范围是什么？

如图，经过点A（0，6）的抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0）、C两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）求直线AC所对应的函数关系式；
（3）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁ ，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（4）在（3）的结论下，新抛物线y₁上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形，请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

如图是抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y₂=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①abc＞0；②方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y₂＞y₁；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是．（只填写序号）

若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
（2）若M（t，y₁），N（t+1，y₂），R（t+3，y₃）三点均在函数 $\text{[math]}$ （k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y₁ ， y₂ ， y₃构成“和谐三组数”，求实数t的值；
（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x₁ ， 0），与抛物线y=ax²+3bx+3c（a≠0）交于B（x₂ ， y₂），C（x₃ ， y₃）两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x₁ ， x₂ ， x₃构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x₂=1，求点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）与原点O的距离OP的取值范围．

已知二次函数y=﹣x²+4x．

（1）写出二次函数y=﹣x²+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．

如图是抛物线y=ax²+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax²+bx+c＞0的解集是．

已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求（1）中的函数图象与x轴的交点坐标；
（3）直接写出当y>0时，自变量x的取值范围．

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
（2）写出 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小的自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）分别求出 $\text{[math]}$ 的值．

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

图片_x0020_100010

（1）写出方程 $\text{[math]}$ 的两个解；
（2）当x为何值时， $\text{[math]}$

已知函数y＝x²＋ax＋b的图象如图所示，当y＞0时，则于x的取值范围是（）

图片_x0020_100009

A . －1＜x＜3 B . x＜－1或x＞3 C . x＜－1且x＞4 D . －1＜x＜4

已知二次函数 $\text{[math]}$ .

（1）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（2）直接写出当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ ？
（3）直接写出当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③m为任意实数，则 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .其中正确的有（）

图片_x0020_100013

A . ①④ B . ③④ C . ②⑤ D . ②③⑤

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

二次函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的部分对应值如下表：

$\text{[math]}$	－1	0	2
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	－2	－2

（1）判断下列说法的正误（请在答题卡的相应位置填写“正确”或“错误”）：
① $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 时，该函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ；

③当 $\text{[math]}$ 时，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 都成立，结合函数图象，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．