二次函数图象上点的坐标特征知识点题库

抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点坐标是（）

A . （2，-3） B . （0，-3） C . （-3，0） D . （2，0）

小明从如图所示的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤ $\text{[math]}$ ．你认为其中正确信息的个数有（　　）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

若二次函数y＝x²－6x＋c的图象过A(－1,y₁)、B(2,y₂)、C(3＋ $\text{[math]}$ ,y₃)三点,则y₁、y₂、y₃的大小关系正确的是（）

A . y₁＞y₂＞y₃ B . y₁＞y₃＞y₂ C . y₂＞y₁＞y₃ D . y₃＞y₁＞y₂

在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-2）²+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（）

A . x轴与⊙P相离； B . x轴与⊙P相切； C . y轴与⊙P与相切； D . y轴与⊙P相交．

阅读理解

抛物线y= $\text{[math]}$ x²上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．

问题解决

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y= $\text{[math]}$ x²的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．

（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°
（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．
①求证：PE²+PF²=2（PM²+EM²）；
②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？

（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2） ①当P点运动到A点处时，计算：PO=，PH=，由此发现，POPH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）
如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

如果点A（﹣2，y₁）和点B（2，y₂）是抛物线y=（x+3）²上的两点，那么 y₁y₂ ．（填“＞”、“=”、“＜”）

已知函数y=3x²﹣6x+k（k为常数）图象经过点A（2，y₁），B（3，y₂），C（4，y₃），则有（）

A . y₁＜y₂＜y₃ B . y₁＞y₂＞y₃ C . y₃＞y₁＞y₂ D . y₁＞y₃＞y₂

若A（﹣2，y₁），B（﹣1，y₂）在抛物线y= $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）²上，则y₁（填“＞”“＜”或“=”号）．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；
（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

如图，二次函数y= $\text{[math]}$ +bx﹣ $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1） b=；点D的坐标：；
（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；
（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，其中正确的结论个数有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

如图，若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则（）

①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b²﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

设二次函数y=（ax-1）（x-a），其中a是常数，且a≠0．

（1）当a=2时，试判断点（- $\text{[math]}$ ，-5）是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点（1，-4），求该函数的表达式．
（3）当 $\text{[math]}$ -1≤x≤ $\text{[math]}$ +1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．

已知抛物线y=﹣x²+2bx+1﹣2b(b为常数).

（1）若点(2，5)在该抛物线上，求b的值；
（2）若该抛物线的顶点坐标是(m，n)，求n关于m的函数解析式；
（3）若抛物线与x轴交点之间的距离大于4，求b的取值范围.

二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x₁ ， 0）、（x₂ ， 0），其中0＜x₁＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x₂＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④当m为任意实数时，a﹣b＜am²+bm；⑤若点（﹣0.5，y₁），（﹣2，y₂）均在抛物线上，则y₁＞y₂；⑥a＞ $\text{[math]}$ ．其中，正确结论的个数为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

若点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

已知，二次函数y＝ax²＋2ax＋1(a≠0)

（1）当a为何值时，该函数图象的顶点在x轴上，并写出顶点的坐标；
（2）已知点( $\text{[math]}$ )，(1，0)，(2，－3)，该函数图象过其中的两点，求此函数的解析式；
（3）已知a＞0，若点A（b，m)，B(b＋3，n)是该函数图象上的两点，且m＞n，求b的取值范围.

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点坐标 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的交点在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间（包含端点），则下列结论正确的有．① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③对于任意实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立；④关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根．（填编号）

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