换元法解一元二次方程 知识点题库

已知（x²+y²﹣1）（x²+y²+3）=0，则x²+y²的值为．

如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n=．

（m²-n²）（m²-n²-2）-8=0，则m²-n²的值是（    ）

如果（2x+2y+1）（2x+2y﹣1）=63，那么x+y的值是 ．

已知锐角 满足关系式 ，则 的值为（   ）

阅读下面的材料，回答问题：

解方程x⁴﹣5x²+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x²＝y ， 那么x⁴＝y² ， 于是原方程可变为y²﹣5y+4＝0  ①，解得y₁＝1，y₂＝4．

当y＝1时，x²＝1，∴x＝±1；

当y＝4时，x²＝4，∴x＝±2；

∴原方程有四个根：x₁＝1，x₂＝﹣1，x₃＝2，x₄＝﹣2．

阅读材料：为解方程 ，我们可以将 看成一个整体，然后设 ①，那么原方程可化为 ，解得 ， .当 时， ，∴ ，∴ .当 时， ，∴ ，∴ ，故原方程的解为 ， ， ， .

解答问题：

若 ，则 的值为（   ）

【发现】x⁴﹣5x²+4＝0是一个一元四次方程.

若实数x，y满足(x²+y²)²-2(x²+y²)=8，则x²+y²的值为

阅读下面材料，解答问题．

为解方程 (x²－1)²－5(x²－1)+4 =0，我们可以将(x²－1)看作一个整体，然后设 x²－1＝y，那么原方程可化为  y²－5y＋4＝0，解得y₁＝1，y₂＝4．当y＝1时，x²－1＝1，∴x²＝2，∴x＝± ；当y＝4时，x²－1＝4，∴x²＝5，∴x＝± ，故原方程的解为  x₁＝ ，x₂＝－ ，x₃＝ ，x₄＝－ ．

上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程：

 (x²+7x)²－2(x²+7x)－48=0

已知(x²+y²)(x²+y²-1)-6=0，则 x²+y² 的值是（   ）

先阅读下面框中方程的求解过程，然后解答问题．

解方程 ．

解：设 ，则 ，原方程可化为 ．

两边同乘以t，化简得， ．

解这个方程，得 ， ．

当 时，解得 ， ．

当 时，此方程没有实数根．

经检验， ， 是原方程的解．

所以方程 的解为：

， ．

定义：我们把关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0与cx²+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对友好方程.如2x²-7x+3=0的友好方程是3x²-7x+2=0.

用换元法解方程 ＝3时，设 ＝y ， 那么原方程化成关于y的整式方程是．

  

解方程：

关于x的方程a（x+m）²＝c的解是x₁＝3，x₂＝﹣2（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）²＝c的解是

问题：已知方程 ， 求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半.

解：设所求方程的根为 ， 则 ， 所以.把代入已知方程，得 ， 化简，得所求方程为.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.

应用：已知方程 ， 求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（   ）

解方程时，我们可以将看成一个整体，设 ， 则原方程可化为 ， 解得 ， ． 当时，即 ， 解得；当时，即 ， 解得 ， 所以原方程的解为 ， ． 请利用这种方法求下列方程：