3.2 空间向量在立体几何中的应用知识点题库

正方体AC₁中截面AB₁C和截面A₁B₁C所成的二面角的余弦值（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，E为CD上任意一点．

（I）求证：B₁E⊥AD₁；

（Ⅱ）若CD= $\text{[math]}$ a，是否存在这样的E点，使得AD₁与平面B₁AE成45°的角？说明理由．

如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．

（1）求证：BF∥平面ADP；
（2）求二面角B﹣DF﹣P的余弦值．

如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．

（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；

（Ⅱ）已知AB=2，BC= $\text{[math]}$ ，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S_△_PBE= $\text{[math]}$ ，点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

四棱柱 ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为 60°．则线段 AC₁与平面ABC所成角的正弦值为．

已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′如图所示，其中G是BC的中点，D，E分别在线段AG，A′C上运动，使得DE∥平面BCC′B′，CC′=2BC=4．

（1）求二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；
（2）求线段DE的最小值．

如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；
（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ 时，求λ的值．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ，M，N，P分别是 $\text{[math]}$ 的中点.

图片_x0020_100011

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的大小是（）

图片_x0020_100006

A . 90° B . 60° C . 45° D . 30°

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，已知多面体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

图片_x0020_100007

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直且长度分别为1，2，2，若 $\text{[math]}$ ，且向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ，M ， N分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面ABC ．
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：平面SAB⊥平面ABC；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．

如图，正方体 $\text{[math]}$ 中，下面结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与平面ABCD所成的角为30° C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 异面直线AD与 $\text{[math]}$ 所成的角为45°

如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值等于 $\text{[math]}$ ，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

如图，已知三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱与底面垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证：不论 $\text{[math]}$ 取何值，总有 $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的余弦值.

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