题目

如图，在直角梯形中， ， ， ， ， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点. （1） 证明：平面； （2） 若二面角的正弦值等于 ， 求四棱锥的体积. 答案： 证明：如图，作CM∥AB交AD于点M，连接PM，取PM的中点N，连接AN，FN. 由中位线定理得FN∥CM，且FN=12CM， 因为点E是AB的中点，所以AE∥CM，且AE=12CM，故FN∥AE，且FN=AE. 所以四边形AEFN是平行四边形.所以EF∥AN. 因为EF⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD. 解：如图，作CM∥AB交AD于点M，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设AB=a，则PB=3−a，MC=a=MD，AM=BC=3−a，PA=9−6a. 由PB>AB得0<a<32. 所以A(0，0，0)，C(a，3−a，0)，D(0，3，0)，P(0，0，9−6a). 所以DC→=(a，−a，0)，DP→=(0，−3，9−6a). 设平面PCD的法向量为n→=(x，y，z)，则{DC⇀⋅n⇀=ax−ay=0DP⇀⋅n⇀=−3y+z9−6a=0， 令x=1，得n→=(1，1，39−6a). 又平面CDE的一个法向量为m→=(0，0，1)，依题意得|cos⟨n→，m→⟩|=|n→⋅m→||n→||m→|=155， 所以39−6a2+33−2a=155，解得a=1，即AB=1，BC=2，PA=3. 所以V四棱锥P−ABCD=13×(2+3)×12×3=536

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