题目

如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形， 为 的中点， 为等腰直角三角形， ，且 . （1） 求证： 平面 ； （2） 求 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：因为 D 为 AB 的中点， AC=BC ，所以 CD⊥AB . 连接 B1D ，如图（1）所示. 设 AB=2a ，因为四边形 ABBA1 是菱形， D 为 AB 的中点， ∠ABB1=π3 ， ∴ B1D=3a . 又 ΔABC 为等腰直角三角形， ∠ACB=π2 ， CD=a ，所以 B1D2+CD2=B1C2 ， 则 CD⊥B1D . 又因为 AB∩B1D=D ， 所以 CD⊥ 平面 ABB1A1 . 解：法一：如图（1），令 CD 与平面 BCC1B1 所成角为 θ ，点 D 到平面 BCC1B1 的距离为 d ， AB=2a ，由（1）可知， B1D⊥ 平面 BCD . 则 SΔBCD=12a2 ， 所以 VB1−BCD=13×12a2×3a=36a3 . 又因为 BC=2a,B1B=B1C=2a ， 所以易求得 SΔB1BC=12×2a×72a=72a2 ， 所以 VD−B1BC=13×72a2d ， 由此可得 36a3=76a2d ， 所以 d=37a ， 则 sinθ=dCD=217 ， 即 CD 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 217 . 法二：由（1）可知面 ABC⊥ 面 ABB1A1 ，因为 B1D⊥AB ， 所以 B1D⊥ 面 ABC . 按图（2）方式建立坐标系，令 AB=2a,CD 与平面 BCC1B1 所成角为 θ ， 则 C(a,0,0) ， B(0,−a,0) ， 则 BC→=(a,a,0),BB1→=(0,a,3a) ， 令面 ABB1A1 的法向量为 n→=(x,y,z) ， 则 {BC→⋅n→=0BB1→⋅n→=0 ， 即 {(−a,−a,0)⋅(x,y,z)=0(0,a,3a)⋅(x,y,z)=0 ， 即 {x+y=0y+3z=0 ， 令 y=3a ，则 n→=(−3a,3a,−3a) ， cos(90°−θ)=|DC→⋅n→|DC→|⋅|n→||=3a2a⋅21a=217 ， 即 sinθ=217 , 即 CD 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 217 .

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