3.2 空间向量在立体几何中的应用知识点题库

已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=CA=3，SA=SB=SC，球心O到平面ABC的距离为1，则SA与平面ABC所成角的大小为（　　）

A . 30° B . 60° C . 30°或60° D . 45°或60°

如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中点．

（Ⅰ）若PA=1，求二面角B﹣PC﹣D的大小；

（Ⅱ）求AN与平面PCD所成角的正弦值的最大值．

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D，E分别为棱C₁C，B₁C₁的中点．

（1）求二面角B﹣A₁D﹣A的平面角的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定点F的位置并证明结论；若不存在，请说明理由．

如图，菱ABCD与四边形BDEF相交于BD，∠ABC=120°，BF⊥平面ABCD，DE∥BF，BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点，AC∩BD=G．

（I）求证：GM∥平面CDE；

（II）求直线AM与平面ACE成角的正弦值．

在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 中点．

（1）证明： $\text{[math]}$ ．
（2）求DE与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的三等分点.现将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 折起，使得平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 均与平面 $\text{[math]}$ 垂直.

（1）若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求证: $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）当二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ,求这个六面体 $\text{[math]}$ 的体积.

直角梯形ABCD如图（1）所示，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为M，得到面积为4的正方形ABMD，现沿BM进行翻折，得到如图（2）所示的四棱柱C-ABMD．

图片_x0020_367532682

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面CDM；
（2）若 $\text{[math]}$ ，平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求CM的长．

已知三棱柱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点．

图片_x0020_100007

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，已知三棱柱 $\text{[math]}$ 的所有棱长都相等，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点.

（Ⅰ）求证: $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求平面 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正切值.

在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC.

（1）求直线PC与平面ABC所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AP-C的余弦值.

中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）试验表明，当 $\text{[math]}$ 时，风筝表现最好，求此时直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，又 $\text{[math]}$

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 将点 $\text{[math]}$ 折至 $\text{[math]}$ 处，使得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形， $\text{[math]}$ 平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，E为棱PD的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面PCD；
（2）求平面AEC与平面PAC的夹角余弦值．

如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，M是 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

如图， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别沿AE，AF及EF所在的直线折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P－AEF如图2所示），设M为底面AEF内的动点，则（）

A . PA⊥EF B . 二面角P－EF－A的余弦值为 $\text{[math]}$ C . 直线PA与EM所成的角中最小角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥P－AEF的外接球的表面积为 $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值.

3.2 空间向量在立体几何中的应用 知识点题库

3.2 空间向量在立体几何中的应用知识点题库