第一章统计案例知识点题库

对于独立性检验，下列说法错误的是（）

A . 两事件频数相关越小，

就越小 B . 两事件频数相关越小，

就越大 C .

时，事件A与事件B无关 D .

＞

时，有99%的把握说事件A与事件B有关

为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名

观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：

将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．

（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？

（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

P（K²≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

附：K²= $\text{[math]}$ ．

淮南二中体育教研组为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对本校200名高二学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼的时间（分钟）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
总人数	20	36	44	50	40	10

将学生日均课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．

参考公式：k²= $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d．

参考数据：

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
女
15
110
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的：“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．

某公司近年来产品研发费用支出x万元与公司所获得利润y之间有如下统计数据：

x	2	3	4	5
y	18	27	32	35

（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$
（2）试根据（1）中求出的线性回归方程，预测该公司产品研发费用支出为10万元时所获得的利润．
参考公式：用最小二乘法求现象回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（）

A . $\text{[math]}$ =x﹣1 B . $\text{[math]}$ =x+2 C . $\text{[math]}$ =2x+1 D . $\text{[math]}$ =x+1

对具有线性相关关系的两个变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，测得一组数据如下表所示：根据表格，利用最小二乘法得到回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

$\text{[math]}$	2	4	5	6	8
$\text{[math]}$	20	40	60	70	$\text{[math]}$

A . 85.5 B . 80 C . 85 D . 90

为了了解司机开车时礼让斑马线行人的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计数据：

	礼让斑马线行人	不礼让斑马线行人
男性司机人数	40	15
女性司机人数	20	25

若以 $\text{[math]}$ 为统计量进行独立性检验，则 $\text{[math]}$ 的值是.（结果保留2位小数）

参考公式 $\text{[math]}$

眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X ，求X的分布列和数学期望.

某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．

图片_x0020_1870563942

（Ⅰ）求总人数N和分数在110～115分的人数n;

（Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n名学生（女生占 $\text{[math]}$ ）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；

（Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．

数学	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106

已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？

附：对于一组数据 $\text{[math]}$ 其回归线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ．

某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查.下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”.

图片_x0020_100016

附：

$\text{[math]}$	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

$\text{[math]}$ .

（1）根据已知条件完成下面 $\text{[math]}$ 列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？

	非阅读爱好	阅读爱好	合计
男女			50
合计		14
男女

（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为 $\text{[math]}$ ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ .

已知变量y与x线性相关，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且y与x的线性回归直线的斜率为6.5，则由y与x的线性回归方程可得，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

第24届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组 $\text{[math]}$ ，第二组 $\text{[math]}$ ，第三组 $\text{[math]}$ ，第四组 $\text{[math]}$ ，第五组 $\text{[math]}$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.

（1）求 $\text{[math]}$ 的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）；

（2）已知抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有10人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有20人，补全下面2×2列联表，问是否有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关？

	男生	女生	总计
希望去张家口赛区	10	20
不希望去张家口赛区
总计	40	40

（3）冰球项目的场地服务需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通过该项志愿服务的选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将5张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的人数为X，求X的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ .
参考数据及公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继2G、3G和4G系统之后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．某大学为了解学生对5G相关知识的了解程度，随机抽取男女学生各50人进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示，并规定得分在80分以上为“比较了解”．

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）求 $\text{[math]}$ 的值，并估计该大学学生对5G比较了解的概率；

（2）已知对5G比较了解的样本中男女比例为4:1．完成下列 $\text{[math]}$ 列联表，并判断有多大把握认为对5G比较了解与性别有关；

	比较了解	不太了解	合计
男性
女性
合计

（3）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，求至少有1人得分低于40分的概率．

为检查“创建全国文明城市”（以下称“创城”）活动成果，某市统计了自宣传发动“创城”以来的几个月中，在市区某主要路段的骑行者和行人过马路情况，并从中随机抽查了60人，得到 $\text{[math]}$ 列联表如下：

	不走斑马线	走斑马线	合计
骑车	6
步行		22	30
合计			60

（1）补全上述列联表；
（2）根据小概率值 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验，有没有充分证据推断：过马路“不走斑马线行为”与骑车有关？
附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

α

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

x_α

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

某学校为了纪念华罗庚先生(1910年1月-1985年6月)逝世3周年，特举办“华罗庚”杯数学竞赛，现从参赛选手中抽取100名学生进行研究，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到如图所示的频率分布直方图.

	优秀	非优秀	合计
男生		40
女生			50
合计			100

参考公式及数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）求a的值；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
（3）用频率估计概率，现从学校所有参赛选手中随机抽取1名学生，共抽取3次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的3名选手中成绩恰好在 $\text{[math]}$ 上的人数为随机变量 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响.现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

x	4	6	8	10	12
y	1	5	7	14	18

A . x，y之间呈正相关关系 B . $\text{[math]}$ C . 该回归直线一定经过点 $\text{[math]}$ D . 当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件

某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表：

年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均存款y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

变量t，y具有线性相关关系.现有甲､乙､丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲 $\text{[math]}$ ；乙 $\text{[math]}$ ；丙 $\text{[math]}$ ，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差大于0.1，则称该数据为“不可靠数据”，若误差为0，则称该检测数据是“完美数据”，这两者之外的其余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据，从剩余数据中随机抽取2个，求其中“完美数据”个数的分布列和数学期望.

北京时间2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣.某中学为了解学生的性别和对天宫课堂的喜欢是否有关联，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生进行问卷调查，得到如下列联表：

性别	天宫课堂
性别	不喜欢	喜欢	合计
女	20	40	60
男	10	30	40
合计	30	70	100

附： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（1）画出列联表的等高堆积条形图，并判断该中学学生性别与喜欢天宫课堂是否有关联；
（2）依据小概率值 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验，能否据此认为该中学学生性别与喜欢天宫课堂有关联；
（3）以上两种方法得出的结论哪一种更可靠，请说明理由.

针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为 $\text{[math]}$ 人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的 $\text{[math]}$ ，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 $\text{[math]}$ .零假设为 $\text{[math]}$ ：喜欢短视频和性别相互独立.若依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

附： $\text{[math]}$ ，附表：

$\text{[math]}$	0.05	0.01
$\text{[math]}$	3.841	6.635

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

	课外体育不达标	课外体育达标	合计
男
女		15	110
合计

第一章 统计案例 知识点题库

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