题目

第24届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同. （1） 求 的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）； （2） 已知抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有10人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有20人，补全下面2×2列联表，问是否有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关？ 男生 女生 总计 希望去张家口赛区 10 20 不希望去张家口赛区 总计 40 40 （3） 冰球项目的场地服务需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通过该项志愿服务的选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将5张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的人数为X，求X的分布列及数学期望 . 参考数据及公式： ， .             答案： 解：由题意可知： 20b=10a+0.45 ， (2a+b+0.065)×10=1 解得 a=0.005 ， b=0.025 ， 所以平均值等于 50×0.05+60×0.25+70×0.45+ 80×0.2+90×0.05=69.5 中位数等于 65+0.20.45×10=6259≈69.4 补全2×2列联表： 男生 女生 总计 希望去张家口赛区 10 20 30 不希望去张家口赛区 30 20 50 总计 40 40 80 χ2=80×(10×20−20×30)240×40×30×50≈5.333>3.841 ， 所以有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关. X 可能取值为 2,3,4 P(X=2)=C42C33C75=27 ， P(X=3)=C43C32C75=47 ， P(X=4)=C44C31C75=17 ， 所以 X 的分布列为： X 2 3 4 P 27   47   17   所以数学期望 E(X)=2×27+3×47+4×17=207 .

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