题目

已知矩阵 ，其中  ，若点 在矩阵 的变换下得到点 （1） 求实数 的值； （2） 求矩阵 的特征值及其对应的特征向量. 答案： a解：由 [2  a2  1][1−2]=[−40]   ∴2−2a=−4⇒a=3 解：由（1）知 M=[2  32  1] ，则矩阵 M 的特征多项式为f(λ)=|λ−2−2   −3λ−1|   =(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4  令 f(λ)=0 ，得矩阵 M 的特征值为 −1 与 4当 λ=−1  时， {(λ−2)x−3y=0−2x+(λ−1)y=0 ⇒x+y=0∴ 矩阵 M 的属于特征值-1的一个特征向量为 [1−1] ；当 λ=4 时， {(λ−2)x−3y=0−2x+(λ−1)y=0 ⇒2x−3y=0∴ 矩阵 M 的属于特征值4的一个特征向量为 [32] .

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