题目

如图已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB∥CD，AB=CD.（1）点F在线段PC上运动，且设=λ,问当λ为何值时，BF∥平面PAD？并证明你的结论；（2）二面角F—CD—B为45°，求二面角B—PC—D的大小；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离. 答案：解:（1）当λ=1时，BF∥平面PAD.证明：取PD中点E，则EF∥CD，且EF=CD,又AB∥CD且AB=CD,∴四边形ABFE为平行四边形.∴BF∥AE.又AE平面PAD,∴BF∥平面PAD.（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD,CD⊥PD,∠PDA即是二面角的平面角∠PDA=45°，∴△PAD为等腰直角三角形，∴AE⊥PD,∵CD⊥AD,∴AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD.又BF∥AE，∴BF⊥平面PCD.∵BF平面PBC，∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B—PC—D的大小为90°.（3）在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD∩平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.在Rt△PCD中,PC=,在Rt△PEF 中，EH·PF=PE·EF，将PE=,PF=,EF=代入得EH=.即点E到平面PBC的距离为.又∵AE∥BF,∴AE∥平面PBC,∴点A到平面PBC的距离为.

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