题目

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= CD=1，如图2，将△ABD沿BD折起来，使平面ABD⊥平面BCD，设E为AD的中点，F为AC上一点，O为BD的中点． （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；、（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEF的体积为 ，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的绝对值． 答案：证明：在图1中，取CD的中点E，连结BE， ∵AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= 12 CD=1，∴BE=DE=CE=1，BE⊥CD，∴∠DBE=∠CBE=45°，∴BC⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD，∵AO⊂平面ABD，∴AO⊥BC，∵AB=AD，O是BD的中点，∴AO⊥BD，又BD∩BC=B，BD⊂平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AO⊥平面BCD．（II）解：设F到平面ABD的距离为h，则VA﹣BEF=VF﹣ABE= 13⋅S△ABE⋅h = 13⋅12⋅1⋅12⋅h = 218 ，∴h= 223 ．∴CF= 13 CA．由（I）可知OE⊥BD，以O为原点，以OD，OE，OA为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，0， 22 ），B（﹣ 22 ，0，0），E（ 24 ，0， 24 ），C（﹣ 22 ， 2 ，0），∴ BE→ =（ 324 ，0， 24 ）， BC→ =（0， 2 ，0）， CA→ =（ 22 ，﹣ 2 ， 22 ），∴ BF→ = BC→+CF→ = BC→+13CA→ =（ 26 ， 223 ， 26 ），设平面BEF的法向量为 m→ =（x，y，z），则 {m→⋅BE→=0m→⋅BF→=0 ，∴ {324x+24z=026x+223y+26z=0 ，令x=1得 m→ =（1， 12 ，﹣3），∵BC⊥平面ABD，∴ BC→ =（0， 2 ，0）是平面ABD的一个法向量，∴cos＜ BC→，m→ ＞= BC→⋅m→|BC→||m→| = 222⋅212 = 2121 ．∴二面角A﹣BE﹣F的余弦值的绝对值为 2121 ．

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