题目

给定无穷数列 ，若无穷数列{bn}满足：对任意 ，都有 ，则称 “接近”。 （1） 设 是首项为1，公比为 的等比数列， ， ，判断数列 是否与 接近，并说明理由； （2） 设数列 的前四项为： =1， =2， =4， =8，{bn}是一个与 接近的数列，记集合M={x|x=bi ， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m； （3） 已知 是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与 接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。 答案： 由题意 a1=1，q=12，故an=(12)n−1又 bn=an+1+1 ，故 bn=12n+1则 |bn−an|=|12n+1−12n−1|=|1−12n−1|又 12n−1>0 ，故 |1−12n−1|<1即 |bn−an|<1 ，故 {bn}与{an}接近 由题意分析可知 M={x|x=bi，i=1，2，3，4}|b1−1|<1⇒0<b1<2|b2−1|<1⇒1<b2<3|b3−4|<1⇒3<b3<5|b4−8|<1⇒7<b4<9根据范围分析 b4≠b3≠b2或b1 ，根据元素互异性 b4∈M，b3∈M ，又 b1与b2 可能出现 b1=b2 情况，也可能出现 b1≠b2 情况，故根据互异性，M中元素个数为3个或4个 {an} 为等差数列，又 bn 与 an 接近，有 |bn−an|<1则 −1+an<bn<an+1又 −1+an+1<bn+1<an+1+1−an−1<−bn<1-an故 d−2<bn+1−bn<2+d当 d=−2时，bk+1−bk≤0，k=1，2，...，200， 即 b2−b1，b3−b2，...，b201−b200 中没有正数；当 d ＞-2时，存在 b1，b2，...b201 使得 b2−b1>0，b3−b2<0，b4−b3>0， b5−b4<0，...，b200−b199>0，b201−b200<0 ，即有100个正数，故 d ＞-2。

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