题目

已知抛物线Γ：x2=2py（p>0）的焦点为FR0，1），过F且斜率为的直线k1与l1交于才，B两点，斜率为k2（k2≠0）的直线l2与Γ相切于点P，且l2与l1不垂直，Q为AB的中点。 （1） 若k1= ，求|AB|： （2） 若直线PQ 过（0，2），求 答案： 解：因为抛物线Г：x2＝2py（p＞0）的焦点为F(0，1)， 所以抛物线Г的方程为x2＝4y． 由直线l1的斜率为k1，且过F(0，1)，得l1的方程为y＝k1x＋1， 代入x2＝4y化简得x2－4k1x－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋2＝4k 12 ＋2， |AB|＝y1＋y2＋2＝4k 12 ＋4． 因为k1＝ 3 ，所以|AB|＝16． 解：设P(x0， x024 )， 将Г的方程x2＝4y化为y＝ x24 ，求导得y'＝ x2 ， 因为斜率为k2的直线l2与Г相切于点P，所以k2＝ x02 ，则P(2k2，k 22 )， 由（1）知x1＋x2＝4k1，且Q为AB的中点，易得Q(2k1，2k 12 ＋1)， 因为直线PQ过(0，2)，所以 k22−22k2 ＝ 2k12−12k1 ， 整理得(k1k2＋1)(k2－2k1)＝0， 因为l2与l1不垂直，所以k1k2＋1≠0， 则k2－2k1＝0，即 k1k2 ＝ 12 ．

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