题目

在等腰直角 中， ， ，将线段 绕点 顺时针旋转一定的角度得到线段 .连接 ，交 于点 ，过点 作线段 的垂线，垂足为 ，交 于点 . （1） 如图1，若 . ①求 的度数； ②连接 ，求证： ； （2） 如图2，若 ，当 时，请直接写出 的值. 答案： 解：① ∵BA=BC ， ∠ABC=90° ， ∴∠ACB=∠CAB=45° ， ∵∠CBD=45° ， ∴∠ACB=∠CBD ， ∴AC//BD ， ∴∠CAD=∠D ， ∵BD=BC=BA ， ∴∠D=∠BAD ， ∴∠CAD=∠BAD=22.5° ， ∵CG⊥AD ， ∴∠CFD=90° ， ∴∠ACF=90°−22.5°=67.5° ， ∴∠BCG=∠ACF−∠ACB=22.5° . ②证明：延长 CG 交 AB 的延长线于 T . ∵∠ABE=∠CBT=90° . AB=BC ， ∠BAE=∠BCT=22.5° ， ∴ΔABE≅ΔCBT(ASA) ， ∴AE=CT . BE=BG ， ∵∠EBG=∠TBG=45° ， BG=BG ， ∴ΔBGE≅ΔBGT(SAS) ， ∴EG=GT ， ∠T=∠BEG=67.5° ， ∴∠BGE=∠BEG=∠T=∠BGT=67.5° ， ∴BE=BG=BT ， ∵BC=BD ， ∴EC=DG ， ∵∠D=∠BAD=∠FCE=22.5° ， ∠CFE=∠DFG ， ∴ΔCFE≅ΔDFG(AAS) ， ∴CF=DF ， ∴AE−FG=CT−FG=CF+GT=EG+DF . 解：如图2中，连接 CD ，过点 D 作 DH⊥BC 于 H ，在 DH 上取一点 J ，使得 EJ=DJ ，设 CF=a . ∵CB=BD ， ∠CBD=60° ， ∴ΔBCD 是等边三角形， ∵AB=BC ， ∠ABC=90° ， ∴∠ABD=90°+60°=150° ， ∠BAC=∠ACB=45° ， ∴∠BAD=∠BDA=15° ， ∴∠CAF=30° ， ∵CG⊥AD ， ∴∠CFA=90° ， ∴AC=2CF=2a ， ∵∠CDB=60° ， ∠CFD=90° ， ∴∠FDC=∠FCD=45° ， ∴FC=DF=a ， DC=BC=BD=2a ， ∵DH⊥BC ， ∴CH=BH=22a ， DH=3CH=62a ， 设 EH=x ， ∵JE=JD ， ∴∠JED=∠JDE=15° ， ∴∠EJH=∠JED+∠JDE=30° ， ∴EJ=2EH=DJ=2x ， HJ=3x ， DE=EH2+DH2=(6+2)x ， ∴ 3x+2x=62a ， ∴x=(6−322)a ， ∴DE=(3−3)a ， ∵AC−DE=6 ， ∴2a−(3−3)a=6 ， ∴a=3(3+1) ， ∴EC=CH+EH=(6−2)a=62 ， ∵∠CFE=∠DFG=90° ， CF=DF ， ∠FCE=∠FDG=15° ， ∴ΔCFE≅ΔDFG(ASA) ， ∴DG=EC=62 ， ∴DG2=72 .

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