题目

在数列{an}中，a1=1, an+1= （n∈N+），归纳猜想这个数列的通项公式，并用三段论加以论证． 答案：解：在数列{an}中，a1=1, an+1= 2an2+an （n∈N+），则a1=1=22,a2=2a12+a1=22+1,a3=2a22+a2=23+1,a4=2a32+a3=24+1,a5=2a42+a4=25+1,⋯ 猜想这个数列的通项公式是an= 2n+1.证明：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列， —— 大前提∵a1=1, an+1= 2an2+an （n∈N+），∴ 1an+1 = 2+an2an = 1an + 12 ， —— 小前提从而数列{ 1an }是以 1a1 =1为首项， 12 为公差的等差数列， ——结论∴1an=1+12(n−1)=n+12,∴an=2n+1.

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