题目

在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 问题：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________． （1） 求角 ； （2） 若 是 内一点， ， ， ， ，求 ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案： 解：方案一：选条件① ∵2cosA(ccosB+bcosC)=a ， ∴2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=sinA ， ∴2cosAsinA=sinA ， ∴cosA=12 ，又 0°<A<180° ∴A=60° . 方案二：选条件② ∵sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC ∴b2+c2−a2=bc ∴cosA=b2+c2−a22bc=12 又 0°<A<180° ∴A=60° . 方案三：选条件③ ∵3sinC+cosC=b+ca=sinB+sinCsinA ∴3sinCsinA+cosCsinA=sin(A+C)+sinC 整理得 (3sinA−cosA)sinC=sinC ∴3sinA−cosA=1 ， ∴sin(A−30°)=12 ，又 0°<A<180° ， ∴A=60° . ∵∠OAC+∠OAB=60° ， ∠OAB+∠ABO=180°−120°=60° ∴∠OAC=∠ABO 在 △ABO 中， AOsin∠ABO=3sin120° ， ∴AO=23sin∠ABO 在 △ACO 中， 1sin150°=AOsin∠ACO=AOsin(30°−∠ABO) ∴AO=2sin(30°−∠ABO) ， ∴2sin(30°−∠ABO)=23sin∠ABO 整理得 cos∠ABO=33sin∠ABO ， ∴tan∠ABO=39 .

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