题目

已知定义在 上的函数 . （1） 当 时,试判断 在区间 上的单调性,并给予证明. （2） 当 时,试求 的最小值. 答案： 解：用定义法证明如下:    设 1<x1<x2 ,  则 f(x1)−f(x2)=(2x1−a⋅2−x1)−(2x2−a⋅2−x2)   =(2x1−2x2)+a(2−x2−2−x1)   =(2x1−2x2)+a2x1−2x22x1+x2 =(2x1−2x2)(1+a2x1+x2)  ， ∵1<x1<x2 , a>0 ， ∴2x1−2x2<0 , 1+a2x1+x2>0 ， ∴(2x1−2x2)(1+a2x1+x2)<0 , 即 f(x1)−f(x2)<0 ， ∴ f(x) 在区间 (1,+∞) 上单调递增 解：设 f(x)=t,(1≤x≤2) ,则 g(x)=t+4t ， 由(1)知, 当 a=1 时 f(x) 在区间 (1,+∞) 上单调递增   ∴ t∈[32,154]  ， ∵y=t+4t 在区间 [32,2] 上单调递减,在区间 [2,154] 上单调递增 ， ∴ 当 t=2 , 即 2x−12x=2 ,解得 x=log2(2+1) 时, g(x)min=4

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