题目

在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足 ， ． （1） 证明：当取最小值时，； （2） 设 ， 求的取值范围． 答案： 证明：取AB中点M，AC中点N，连接MN，如图所示：则AB→=2AM→，AC→=2AN→，因为AP→=λAB→+μAC→=2λAM→+2μAN→，λ+μ=12⇒2λ+2μ=1，所以三点P,M,N共线，又四面体ABCD为正四面体，所以DM=DN，当P为MN中点时，DP⊥MN，此时|DP|取得最小值，又因为MN//BC，所以DP⊥BC. 解：易知λ,μ∈[0,12]，DP→=DA→+AP→=DA→+λAB→+μAC→=DA→+λ(DB→−DA→)+μ(DC→−DA→)=12DA→+λDB→+μDC→=xDA→+yDB→+zDC→，所以x=12，y=λ，z=μ，故x2+y2+z2=14+λ2+μ2=14+λ2+(12−λ)2=2λ2−λ+12（0≤λ≤12）.根据二次函数的性质，当λ=14时，x2+y2+z2有最小值，为38；当λ=0或12时，x2+y2+z2有最大值，为12.故x2+y2+z2的取值范围为：[38,12]

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