题目

n2（n≥4,且n∈N+)个正数排成一个n列的数阵：        第1列        第2列        第3列        …        第n列第1行    a11                   a12                 a13          …          a1n第2行    a21                   a22                 a23                …          a2n第3行    a31                   a32                 a33                …          a3n…        …             …           …           …           …第n行     an1                   an2                an3                 …          ann    其中aik(1≤i≤n,1≤k≤n，且i,k∈N+)表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a23=8,a34=20.(1)求a11和aik;(2)设An=a1n+a2(n-1)+a3(n-2)+…+an1, 答案：证明：当n为3的倍数时，(An+n)能被21整除.(1)解：设第一行公差为d,则aik=［a11+(k-1)d］×2i-1.∵a23=8,a34=20.∴解得a11=2,d=1.∴a11=2,aik=(k+1)×2i-1(1≤i≤n,1≤k≤n，且n≥4,i,k,n∈N +).(2)证明：∵An=a1n+a2(n-1)+a3(n-2)+…+an1=(n+1)+n×2+(n-1)×22+…+2×2n-1,①∴2An=(n+1)×2+n×22+(n-1)×23+…+3×2n-1+2×2n,②②-①,得An=2+22+23+…+2n-1+2×2n-(n+1)=2n-2+2×2n-(n+1)=3×(2n-1)-n.∴An+n=3×(2n-1).下面用数学归纳法证明：当n为3的倍数时，（An+n）能被21整除.设n=3m(m∈N +,且m≥2),则A3m+3m=3×(23m-1).（1）当m=2时，A6+6=3×(26-1)=21×9,能被21整除.∴当m=2时，结论成立.（2）假设当m=k(k≥2)时，结论成立.即A3k+3k=3×(23k-1)能被21整除.当m=k+1时,A3(k+1)+3(k+1)=3(23(k+1)-1)=3(23k×8-1)=3(23k+7×23k-1)=3(23k-1)+21×23k能被21整除.∴当m=k+1时，结论成立.由（1）（2）可知，当n为3的倍数时，An+n,能被21整除.

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