题目

如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=4，则线段ON的长为　　． 　 答案：　2　． 【考点】正方形的性质． 【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH/CO，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON． 【解答】解：作MH⊥AC于H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAH=45°， ∴△AMH为等腰直角三角形， ∴AH=MH=， ∵CM平分∠ACB， ∴BM=MH=， ∴AB=4+2， ∴AC=AB=4+4， ∴OC=AC=+2，CH=AC﹣AH=4+4﹣2=2+4， ∵BD⊥AC， ∴ON∥MH， ∴△CON∽△CHM， ∴，即， ∴ON=2， 故答案为：2 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．

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