题目

如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K. （1） 求∠EKF的度数； （2） 如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1 ， 问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明. （3） 在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2 ， 作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3 ， 依此类推，……，请直接写出∠K4的度数. 答案： 解：如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G， ∵AB∥CD， ∴AB∥KG∥CD， ∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°， ∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线， ∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK， ∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°， ∴∠BEK+∠DFK＝90°， 则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°； 解：∠K＝2∠K1，理由为： ∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1， ∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1， ∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°， ∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°， 同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°， 则∠K＝2∠K1； 解：如图（3）， 根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝ 12 ∠K1＝22.5°，∠K3＝ 12 ∠K2＝11.25°，∠K4＝ 12 ∠K3＝5.625°.

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