题目

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c． （1） 若f（﹣1）=0，f（0）=0，求出函数f（x）的零点； （2） 若f（x）同时满足下列条件：①当x=﹣1时，函数f（x）有最小值0，②f（1）=1求函数f（x）的解析式； （3） 若f（1）≠f（3），证明方程f（x）=  [f（1）+f（3）]必有一个实数根属于区间（1，3） 答案： 解：∵f（﹣1）=0，f（0）=0， ∴a=b；∴f（x）=ax（x+1）；∴函数f（x）的零点是0和﹣1 解：由条件①得： −b2a=−1,4ac−b24a=0 ，a＞0； ∴b=2a，b2=4ac，∴4a2=4ac，∴a=c；由条件②知：a+b+c=1，由 {a+b+c=1b=2aa=c 解得， a=c=14,b=12 ．∴ f(x)=14x2+12x+14=14(x+1)2 证明：令 g(x)=f(x)−12[f(1)+f(3)] ， 则 g(1)=f(1)−12[f(1)+f(3)]=12[f(1)+f(3)] ， g(1)=f(1)−12[f(1)+f(3)]=12[f(3)−f(1)] ，∴ g(1)⋅g(3)=−14[f(1)−f(3)]2＜0 ，∴g（x）=0在（1，3）内必有一个实根，即方程 g(x)=f(x)−12[f(1)+f(3)] 必有一个实数根属于（1，3）．

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