题目

在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1） 求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2） 设 为曲线 上位于第一，二象限的两个动点，且 ，射线 交曲线 分别于 ，求 面积的最小值，并求此时四边形 的面积. 答案： 解：由曲线 C1 的参数方程为 {x=3cosαy=sinα （ α 为参数）消去参数得 x23+y2=1 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ+π6)=2 ，即 ρsinθcosπ6+ρcosθsinπ6=2 ， 所以，曲线 C2 的直角坐标方程 x+3y−4=0 . 解：依题意得 C1 的极坐标方程为 ρ2cos2θ3+ρ2sin2θ=1 设 A(ρ1,θ) ， B(ρ2,θ+π2) ， D(ρ3,θ) ， C(ρ4,θ+π2) 则 ρ12cos2θ3+ρ12sin2θ=1 ， ρ22sin2θ3+ρ22cos2θ=1 ，故 1ρ12+1ρ22=43 ∴2ρ1ρ2≤1ρ12+1ρ22=43 ，当且仅当 ρ1=ρ2 （即 θ=π4 ）时取“=”， 故 SΔAOB=12ρ1ρ2≥34 ，即 ΔAOB 面积的最小值为 34 . 此时 SΔCOD=12ρ3ρ4=122sin(π4+π6)⋅2cos(π4+π6) =4cosπ3=8 ， 故所求四边形的面积为 SABCD=SΔCOD−SΔAOB=8−34=294

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