题目

已知函数 对任意实数 都有 ，且 . （I）求 的值，并猜想 的表达式； （II）用数学归纳法证明（I）中的猜想. 答案：解：（I） ∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，    f(1)=1 ， ∴f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 ， f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 ， f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16 ， ∴ 猜想 f(n)=n2 . （II）证明：当 n=1 时， f(1)=1 ，猜想成立； 假设 n=k(k≥1) 时，猜想成立，即 f(k)=k2 ， 则当 n=k+1 时， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k×1=k2+2k+1=(k+1)2 ， 即当 n=k+1 时猜想成立. 综上，对于一切 n∈N+f(n)=n2 均成立

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