题目

已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围． 答案：. (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， ∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－＜x＜. ∴函数f(x)的单调递增区间是(－，)． (2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增， ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立． ∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex ＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex， ∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立． ∵ex＞0， ∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立． 即a≥＝x＋1－对x∈(－1,1)都成立． 令y＝x＋1－，则y′＝1＋＞0， ∴y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增， ∴y＜1＋1－＝，∴a≥.

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