题目

（本小题满分13分） 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点. （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 答案：（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形， 所以, 所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分 因为平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分 又因为，为中点， 所以.              ……………3分 因为, 所以平面.       ……………4分 （Ⅱ）证明：连结，交于点，连结， 因为为正方形，所以为中点， 又为中点，所以为中位线， 所以，            ………………6分 因为平面，平面， 所以平面.       ………………8分  (Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， ， 所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系. 设，则. ，                             ………………9分 设平面的法向量为，则有 ，， ， 取，得.                                  ………………10分 又因为平面，所以平面的法向量为，………11分 ，                          ………………12分 因为二面角是钝角， 所以，二面角的余弦值为.                  ………………13分

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