题目

过曲线y=x2(x≥0)上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线l的方程；(3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 答案：解：(1)设点A的坐标为(a,a2)，过点A的切线的斜率为k=y′|x=a=2a，故过点A的切线l的方程为y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，令y=0，得x=，则S△ABC=··a2=，S△ABO=dx==，∴S=S△ABO=S△ABC==.∴a=1.或解：S=dy=(ay+-)=a3=，∴a=1.∴切点A的坐标为(1，1).(2)直线方程为y=2x-1.(3)l与x轴的交点为(,0)，故V=π∫10x4dx-πdx=πx5π(2x-1)3=π.

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