题目

（本小题满分12分）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）∵OA、OC的长是x2－5x+4=0的根，OA<OC∴OA=1，OC=4∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴∴A（－1，0） C（0，－4）      ∵抛物线的对称轴为∴由对称性可得B点坐标为（3，0）∴A、B、C三点坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）（2）∵点C（0，－4）在抛物线图象上∴将A（－1，0），B（3，0）代入得解之得∴ 所求抛物线解析式为：（3）根据题意，，则在Rt△OBC中，BC==5∵，∴△ADE∽△ABC∴∴过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=∴∴EF=DE==4－m∴S△CDE=S△ADC－S△ADE=（4－m）×4（4－m）（ 4－m）=m2+2m（0<m<4）∵S=（m－2）2+2， a=<0∴当m=2时，S有最大值2.∴点D的坐标为（1，0）. 解析:略

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