用向量证明平行知识点题库

若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

下列各组向量中不平行的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知平面 $\text{[math]}$ 的法向量是 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量是 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

设平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为

如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
（3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是直角梯形， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）是否存在线段 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

设直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则使 $\text{[math]}$ 成立的是（）

A .

，

B .

，

C .

，

D .

，

如图，已知 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值的大小．

如图,矩形 $\text{[math]}$ 和梯形 $\text{[math]}$ 所在平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 的长为何值时，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ .

如图， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

如图，直角梯形 $\text{[math]}$ 与等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

图片_x0020_1972693559

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（3）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 若存在，求出 $\text{[math]}$ ；若不存在，说明理由．

如图,在四棱锥 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

图片_x0020_100002

(I) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ;

(II)求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

在正方体 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点．

图片_x0020_100029
证明：

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

如图所示，直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点P，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出线段 $\text{[math]}$ 的长，若不存在，请说明理由.

如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，M，N分别为A₁B，AC的中点．

图片_x0020_1174392184

（1）证明：MN//B₁C；
（2）求A₁B与平面A₁B₁CD所成角的大小．

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．

图片_x0020_100009

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？请证明你的结论．

在正六棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为下底面 $\text{[math]}$ 的中心.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

已知棱长为3的正四面体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间内的任一动点，且满足 $\text{[math]}$ ， E为AD中点，过点D的平面 $\text{[math]}$ 平面BCE，则平面 $\text{[math]}$ 截动点P的轨迹所形成的图形的面积为（）

A . π B . 2π C . 3π D . 4π

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