题目

如图,在四棱锥 中, ⊥平面 , 点 为 的中点.   (I) 证明： 平面 ; (II)求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案：解：（Ⅰ）证明： 取 BC 中点 F ,易知 AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以 A 为原点,分别以 AF→ , AD→ , AP→ 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）, 可得 A(0,0,0) , F(2,0,0) , B(2,−2,0) , C(2,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,2) , E(1,1,1) . 取 PB 中点 M ,则 M(1,−1,1) ,即 AM→=(1,−1,1) 又 DE→=(1,−1,1) ,可得 AM//DE ,  又因为直线 DE⊄ 平面 PAB ,所以 DE// 平面 PAB . （Ⅱ）解：依题意, PD→=(0,2,−2) , CD→=(−2,0,0) , PB→=(2,−2,−2) 设 n→=(x,y,z) 为平面 PCD 的法向量, 则 {n⇀⋅PD⇀=0,n⇀⋅CD⇀=0, 即 {2y−2z=0,−2x=0,    不妨令 z=1 ,可得 n→=(0,1,1) 因此有 cos<PB→,n→>=PB→⋅n→|PB→|⋅|n→|=−63 . 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 63 .

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