题目

在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点， 在线段 上，且满足 . （1） 求证： 平面 ； （2） 求二面角 的余弦值； （3） 在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值是 ，若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由. 答案： 证明：由题意可得 DA ， DC ， DP 两两互相垂直，如果，以 D 为原点， DA ， DC ， DP 分别是 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 D−xyz ，则 A(1 ，  0 ，  0) ， B(1 ，  2 ，  0) ， C(0 ，  1 ，  0) ， P(0 ，  0 ，  1) ， E(12 ，  0 ，  12)设平面 PBC 的法向量为 m⇀=(x ，  y ，  z)BC⇀=(−1 ，  −1 ，  0) ， CP⇀=(0 ，  −1 ，  1){m⇀⋅BC⇀=−x−y=0m⇀⋅CP⇀=−y+z=0  ∴ {x=−yy=z  ，令 y=1 ∴ m⇀=(−1 ，  1 ，  1)又 DE⇀=(12 ，  0 ，  12) ，∴ m⇀⋅DE⇀=0 ，∴ DE⇀⊥m⇀DE⊄ 平面 PBC∴ DE   ∥ 平面 PBC 解：设点 F 坐标为 (1 ，  t ，  0)则 CF⇀=(1 ，  t−1 ，  0) ， DB⇀=(1 ，  2 ，  0) ，由 CF⇀⋅DB⇀=0 得 t=12 ，∴ F(1 ，  12 ，  0)设平面 FPC 的法向量为 n⇀=(x ，  y ，  z) ， CF⇀=(1 ，  −12 ，  0)由 {n⇀⋅PC⇀=0n⇀⋅FC⇀=0  得 {−y+z=0x−12y=0  即 {y=zy=2x  令 x=1 ∴ n⇀=(1 ，  2 ，  2)m⇀⋅n⇀=−1+2+2=3则 cos〈n⇀ ，  m⇀〉=n⇀⋅m⇀|n⇀|⋅|m⇀|=333=33又由图可知，该二面角为锐角故二面角 F−PC−D 的余弦值为 33 解：设 AQ=λAP⇀=(−λ ，  0 ，  λ) ， λ∈[0 ，  1] ，∴ FQ⇀=FA⇀+AQ⇀   =(−λ ，  −12 ，  λ)∴ n⇀⋅FQ⇀=λ−1∴ cos〈FQ⇀ ，  n⇀〉=λ−13⋅2λ2+14=2λ−23(8λ2+1)∵ FQ 与平面 PFC 所成角的余弦值是 63 ∴其正弦值为 33∴ |2λ−238λ2+1|=33 ，整理得：20λ2+8λ−1=0 ，解得： λ=110 ， λ=−12 （舍）∴存在满足条件的点 Q ， AQ⇀=(−110 ，  0 ，  110) ，且 |AQ|=210

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