空间向量的夹角与距离求解公式知识点题库

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点N为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，则x为（　　）

A . 0 B . 1 C . -1 D . 2

设 $\text{[math]}$ =（1，1，﹣2）， $\text{[math]}$ =（3，2，8）， $\text{[math]}$ =（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知P（3cosα，3sinα，1）和Q（2cosβ，2sinβ，1），则|PQ|的取值范围是（　　）

A . [1，5] B . （1，5） C . [0，5] D . [0，25]

若 $\text{[math]}$ =（2，﹣3， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（1，0，0），则＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＞=

已知空间向量 $\text{[math]}$ =（0，1，1）， $\text{[math]}$ =（1，0，1），则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . 60° B . 120° C . 30° D . 150°

如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AB⊥B₁C．

（Ⅰ）证明：AC=AB₁；

（Ⅱ）若AC⊥AB₁ ， ∠CBB₁=60°，AB=BC，求二面角A﹣A₁B₁﹣C₁的余弦值．

如图所示，在正方体 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的点.

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，四面体 $\text{[math]}$ 中，△ $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

已知A(2，－5， 1)，B(2，－4，2)，C(1，－4， 1)，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . 30° B . 60° C . 45° D . 90°

如图，已知点 $\text{[math]}$ 在正方体 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$

图片_x0020_100021

（1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

如图，棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的中心，则 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离是（）

图片_x0020_100001

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知平面 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的法向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

如图,在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值.

已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的每个顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两互相垂直，且 $\text{[math]}$ ，若球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ ，则球心 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 的射影 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，以 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 的方向为 $\text{[math]}$ 轴的正方向， $\text{[math]}$ 的方向为 $\text{[math]}$ 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 $\text{[math]}$ ．