多面体和旋转体表面上的最短距离问题知识点题库

ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁ ， …，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁ ， …，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i∈N^*），设黑白蚂蚁都爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 0 D . $\text{[math]}$

圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，求一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程．

如图是边长为1的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请问蜘蛛从A到B正方体表面爬行的最短路程为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ +1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，BB₁=3，从点A出发沿表面运动到C₁点的最短路程是．

圆锥的底面半径为1，母线长为2，顶点为S，轴截面为△SAB，C为SB的中点．若由A点绕侧面至点C，则最短路线长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为.设线段 $\text{[math]}$ 为底面圆的一条直径，一质点从 $\text{[math]}$ 出发，沿着圆锥的侧面运动，到达 $\text{[math]}$ 点后再回到 $\text{[math]}$ 点，则该质点运动路径的最短长度为.

如图，圆锥的底面直径 $\text{[math]}$ ，母线长 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在母线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是．

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在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，M为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则（1）三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值；（2） $\text{[math]}$ ；（3） $\text{[math]}$ 的最大值为90°；（4） $\text{[math]}$ 的最小值为2.其中正确的序号是.

如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M，N分别在棱AB和 $\text{[math]}$ 上运动（不含端点），若 $\text{[math]}$ ，下列命题正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 线段BN长度的最大值为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 体积不变

如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该多面体的三个顶点，点 $\text{[math]}$ 是该多面体表面上的动点，且总满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则该多面体的表面积为，点N轨迹的长度为．

下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径 $\text{[math]}$ ，母线 $\text{[math]}$ ，

（1） A、B是圆O的一条直径的两个端点，母线 $\text{[math]}$ 的中点D，用软尺沿着圆锥面测量A、D两点的距离，求这个距离的最小值；
（2）现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求原工件材料的利用率．（材料利用率= $\text{[math]}$ ）

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