题目

下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径 ， 母线 ， （1） A、B是圆O的一条直径的两个端点，母线的中点D，用软尺沿着圆锥面测量A、D两点的距离，求这个距离的最小值； （2） 现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求原工件材料的利用率．（材料利用率=） 答案： 解：如图，将圆锥SO的侧面自母线SA处展开，得到扇形ASA′，SB′为母线SB在侧面展开图中相应的线段，∵弧AA′=2π，∴∠ASA′=2πSA=2π3，∴∠ASB′=π3，取SB′的中点D′，则D′为D在侧面展开图中的相应点；连AD′，在△ASD′中，由余弦定理得AD′2=SA2+SD′2−2SA×SD′×cos∠ASD′=274，故AD的最小距离为332； 解：设新正方体工件的棱长为x，沿正方体对角面切圆锥，得到一个轴截面，如图所示：所以EF=2x，FG=x，因为△BFG∽△BSO所以x32−12=1−22x1，解得x=223，故V正 =x3=16227，又V圆雉 =13π×12×32−12=22π3，故利用率为16227223π=89π．

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