正方形的判定与性质知识点题库

如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．

（1）如果①：求证∠AFD=∠EBC；
（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；
（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）

如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．

（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．

如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是( )

A . 3 B . 2 $\text{[math]}$ C . 3

D . 3 $\text{[math]}$

已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中， $\text{[math]}$ ，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．

（1）如图1，若点B在OP上，则①ACOE(填“＜”，“＝”或“＞”)；②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是；
（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转a( $\text{[math]}$ )，如图2，那么(1)中的结论②是否成立？请说明理由；
（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转a()，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式；

如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ = 90°， $\text{[math]}$ = 30°，若OE = $\text{[math]}$ ，则正方形的面积为（）

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A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

阅读下列材料：

我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：

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（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形_____________.

A . 平行四边形 B . 矩形 C . 菱形 D . 等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是命题（填“真”或“假”）.
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数.

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为.

$\text{[math]}$ ABC为等边三角形，以AB边为腰作等腰Rt $\text{[math]}$ ABD，∠BAD=90 $\text{[math]}$ ，AC与BD交于点E，连接CD，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F.

（1）如图1，若DF＝1，AB= ；AE=；
（2）如图2，将 $\text{[math]}$ CDF绕点D顺时针旋转至△C₁DF₁的位置，点C，F的对应点分别为C₁ ， F₁ ，当DC₁平分∠EDC时，DC₁与AC交于点M，在AM上取点N，使AN＝DM，连接DN，求tan∠NDM的值.
（3）如图3，将 $\text{[math]}$ CDF绕点D顺时针旋转至 $\text{[math]}$ C₁DF₁的位置，点C，F的对应点分别为C₁ ， F₁ ，连接AF₁、BC₁ ，点G是BC₁的中点，连接AG.求 $\text{[math]}$ 的值；

在 $\text{[math]}$ 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，过点A画AP⊥AC，与以点C为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径的圆交于点P，则线段PB的长为.

圆心角为90°的扇形如图所示，过 $\text{[math]}$ 的中点作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E．若半径OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为．

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如图，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将这两个三角形放置在一起.

（1）问题发现：
如图①，当 $\text{[math]}$ 时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则线段BD、CE之间的数量关系是， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2）拓展探究：
如图②，当 $\text{[math]}$ 时，点B、D、E不在同一直线上，连接CE，求出线段BD、CE之间的数量关系及BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小（都用含 $\text{[math]}$ 的式子表示），并说明理由：
（3）解决问题：
如图③， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接CE、BD，在 $\text{[math]}$ 绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长.

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ 于点G， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O.

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）在（2）的条件下，已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒1个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 轴向右运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒3个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 轴向左运动，两点同时出发.分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，分别交直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你在图1中画出图形，猜想四边形 $\text{[math]}$ 的形状（点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合时除外），并证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，当点 $\text{[math]}$ 运动秒时，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形（直接写出结论）．

如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆 $\text{[math]}$ 、卡槽 $\text{[math]}$ 相切.水平横杆 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，吊舱半径为10米.放开挡板 $\text{[math]}$ 后，吊舱沿着水平横杆 $\text{[math]}$ 向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米.从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的 $\text{[math]}$ 为止（ $\text{[math]}$ ），吊舱平移的时间为（）

A . 30秒 B . 40秒 C . 50秒 D . 60秒

如图，已知P(3，3)，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA＋OB＝.

【问题研究】如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为底边 $\text{[math]}$ 上的两个动点（不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），且 $\text{[math]}$ ．

（1）请在图中找出一个与 $\text{[math]}$ 相似的三角形，这个三角形是；
（2）若 $\text{[math]}$ ，分别过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的反向延长线交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
（3）【问题解决】
如图所示，有一个矩形仓库 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，现计划在仓库的内部的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两处分别安装监控摄像头，其中点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上．设计要求 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长应为多少米？

如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F.若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝ $\text{[math]}$ ；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ①②③④

在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连接，形成四边形MNST，直线MS，TN与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案．若正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，则阴影部分面积之和为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在正方形ABCD中，连结BD，O为BD中点，点E在线段OD上（不与点O，D重合）.

（1）如图1，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G.分别判断EF与EG的数量与位置关系，并说明理由.
（2）如图2，连结EC，过点E作EH⊥EC，交AB于点H.
①求证：EH＝EC.
②猜想OE与BH的数量关系，并证明.

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