二次函数与一次函数的综合应用知识点题库

已知：如图一次函数y= $\text{[math]}$ x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y= $\text{[math]}$ x²+bx+c的图象与一次函数y= $\text{[math]}$ x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．

（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：

①直线y=0是抛物线y= $\text{[math]}$ x²的切线；

②直线x=﹣2与抛物线y= $\text{[math]}$ x² 相切于点（﹣2，1）；

③若直线y=x+b与抛物线y= $\text{[math]}$ x²相切，则相切于点（2，1）；

④若直线y=kx﹣2与抛物线y= $\text{[math]}$ x²相切，则实数k= $\text{[math]}$ ．

其中正确命题的是（）

A . ①②④ B . ①③ C . ②③ D . ①③④

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，做线段AB的垂直平分线l₁ ，过点B作x轴的垂线l₂ ，记l₁ ， l₂的交点为P．

（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上！
①设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；
②设点P到x轴，y轴的距离分别是d₁ ， d₂ ，求d₁+d₂的范围，当d₁+d₂=8时，求点P的坐标；
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点

，交y 轴于点C，如图1所示：

（1）求抛物线的解析式；
（2）点为轴右侧抛物线上一点，是否存在点使，若存在请直接写出点坐标；若不存在请说明理由；
（3）如图2所示，直线BC绕点B顺时针旋转，与抛物线交于另一点E，与直线AC交于点F，求BE的长度.( 提示：过点F作FM $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 轴于点M).

某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问题．已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系构成一次函数，（1≤x≤7且x为整数），且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 百万平方米；后5年每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系是y=﹣ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ （7＜x≤12且x为整数）．

（1）已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积，最后一年要比第6年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？
（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12年中，每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同，且第一年，一年38元/m² ，第二年，一年40元/m² ，第三年，一年42元/m² ，第四年，一年44元/m²……以此类推，分析说明每平方米的年租金和时间能否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；
（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W关于时间x的函数解析式，并求出W的最大值（单位：亿元）．如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58m²的房子，计算老张这一年应交付的租金．

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图，若一元二次方程 $\text{[math]}$ 有实数解，则k的最小值为( )

A . -4 B . -6 C . -8 D . 0

如图，已知抛物线y₁＝ $\text{[math]}$ x²－2x，直线y₂＝－2x＋b相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2.当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁ ， y₂ ，取m＝ $\text{[math]}$ (|y₁－y₂|＋y₁＋y₂).则（）

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A . 当x＜－2时，m＝y₂. B . m随x的增大而减小. C . 当m＝2时，x＝0. D . m≥－2.

如图所示，已知二次函数y=-x²+bx+c的图像与x轴的交点为点A(3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，连接AC。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大?若存在，求出点D的坐标及△ACD面积的最大值，若不存在，请说明理由。
（3）在抛物线上是否存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形如果存在，请直接写出点E的坐标即可；如果不存在，请说明理由。

已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y= $\text{[math]}$ x²的图象经过A、B两点.

（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积.

如图，直线 $\text{[math]}$ 过x轴上一点 $\text{[math]}$ ，且与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于B，C两点，B点的坐标为 $\text{[math]}$ ．

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（1）求直线 $\text{[math]}$ 的表达式及抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式．
（2）求点C的坐标．
（3）点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，直接写出m的取值范围．
（4）若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得 $\text{[math]}$ ，直接写出点D的坐标．

在平面直角坐标系xoy中，直线 $\text{[math]}$ （k为常数）与抛物线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，且A点在y轴右侧，P点的坐标为（0，4）连接PA，PB．(1)△PAB的面积的最小值为；（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ，B两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，对称轴 $\text{[math]}$ 与x轴交于点H.

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（1）求抛物线的函数表达式
（2）直线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点E，与抛物线交于点P,Q（点P在y轴左侧，点Q 在y轴右侧），连接CP，CQ，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求点P，Q的坐标.
（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标不存在，请说明理由.

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的两个交点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则使得关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1，0)、B(4，0)、C(0，2)三点，点D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点。

（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A（－1，0）、点B（3，0），经过点A的一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.

（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点F，抛物线的对称轴与抛物线交于点H，与x轴交于点G.若点Q为抛物线对称轴上一点，点P（c，0）为x轴上任意一点，且PQ⊥FQ，当点Q在线段GH（含端点）上运动时，求c的取值范围.

如图，抛物线y＝ax²+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.

（1）求抛物线的解析式；
（2） F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式；
（2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求一次函数的解析式和点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结合函数的图象，直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集．

抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点P到直线 $\text{[math]}$ 的最短距离是.

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ .

（1）直接写出抛物线的解析式.
（2）如图，将抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.
（3）直线BC与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）若将抛物线 $\text{[math]}$ 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线 $\text{[math]}$ 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.

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